Satz von Vieta
Voraussetzungen
Was du bereits können solltest
Du hast bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen der Normalform x² + px + q = 0 mit Hilfe der pq - Formel lösen kann. Solltest du dir dabei noch nicht sicher sein, findest du hier Möglichkeiten zum Auffrischen bzw. Üben.
Auch solltest du quadratische Gleichungen der Standardform ax² + bx + c = 0 lösen können. Dies kann entweder über die Mitternachtsformel (ABC-Formel) oder über das Umformen (Dividieren durch a) in die Normalform geschehen.
Alles klar, dann lass uns mit Schritt 2 weiter machen!
Forschungsauftrag 1
Löse die folgenden Gleichungen. Trage die Lösungen x1 und x2, so wie die Koeffizienten p und q und eine Tabelle ein.
Was fällt dir auf?
a) x² - 8x + 15 = 0
b) x² + 9x + 14 = 0
c) x² - 5X -14 = 0
Forschungsauftrag 2
Die Gleichung (x - 3)(x - 5) = 0 hat die Lösungen 3 und 5.
Durch Ausmultiplizieren kann man die Gleichung in die Form x² + px + q = 0 bringen.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Lösungen 3 und 5 und den Koeffizienten p und q?
Forschungsauftrag 3
Die Erkenntnisse aus Auftrag 2 wollen wir nun verallgemeinern.
Bestimme die Lösungen der Gleichung (x - x1)(x - x2) = 0.
Bringe die Gleichung durch Ausmultiplizieren in die Form x² + px + q = 0.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen p und q?
Satz von Vieta
Satz von Vieta
Wenn eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 die Lösungen x1 und x2 hat, dann gilt:
x1 + x2 = - p
x1 * x2 = q
Mit dem Satz kann man schnell die Probe durchführen.
Für ganzzahlige Lösungen ist der Satz auch geeignet um diese schnell zu finden.
Francois Vieta
Beweis des Satzes von Vieta
Beweise unter Verwendung der pq-Formel die Behauptungen:
a) x1 * x2 = q
b) x1 + x2 = -p
Lösen von quadratischen Gleichungen
Löse die quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Probiere dazu einfache Lösungen aus.
a) x² + 7x + 12 = 12
b) x² + 9x +18 = 0
c) x² - 4x + 4 = 0
d) x² - 6x + 8 = 0
e) x² -13x + 30 = 0
f) x² + 2x -80 = 0
Lösung von quadratischen Gleichungen
Löse die quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta.
Probiere dazu einfache Lösungen aus.
a) x² + 7x + 12 = 12
|
|
|
x1 |
3 |
- 3 |
x2 |
4 |
- 4 |
x1 + x2 |
+ 7 |
- 7 |
- p |
- 7 |
- 7 |
x1 * x2 |
12 |
12 |
q |
12 |
12 |
b) x² + 9x +18 = 0
|
|
x1 |
- 3 |
x2 |
- 6 |
x1 + x2 |
- 9 |
- p |
- 9 |
x1 * x2 |
18 |
q |
18 |
c) x² - 4x + 4 = 0
|
|
x1 |
2 |
x2 |
2 |
x1 + x2 |
4 |
- p |
4 |
x1 * x2 |
4 |
q |
4 |
d) x² - 6x + 8 = 0
|
|
x1 |
2 |
x2 |
4 |
x1 + x2 |
6 |
- p |
6 |
x1 * x2 |
8 |
q |
8 |
e) x² -13x + 30 = 0
|
|
x1 |
3 |
x2 |
10 |
x1 + x2 |
13 |
- p |
13 |
x1 * x2 |
30 |
q |
30 |
f) x² + 2x -80 = 0
|
|
x1 |
8 |
x2 |
- 10 |
x1 + x2 |
-2 |
- p |
- 2 |
x1 * x2 |
- 80 |
q |
- 80 |
Probe mit dem Satz von Vieta
Überprüfe mithilfe des Satzes von Vieta ob die angegebenen Lösungen richtig sind.
a) x² + 2x - 8 = 0 x1= 2 ; x2 = - 4
b) 0,5x² + 2x - 6 = 0 x1= 2 ; x2 = - 6
c) 4x² - 8x = 20 x1= 2 ; x2 = - 4