Liebe Schülerinnen und Schüler,

die Schaltung von Widerständen ist eines der wichtigsten Themen der Elektrizitätslehre. Sie spielt in fast allen Anwendungen der Technik eine große Rolle. Denke z. B. an die Verschaltung von Elektro-Geräten, die im Prinzip Widerstände darstellen, im Haushalt! Dieser Lernpfad soll dir helfen, die Schaltung von Widerständen zu verstehen. 

Auf den folgenden Reitern wird statt des Bruchstriches immer das Geteilt-Zeichen "/" benutzt.

Folgendes Vorwissen solltest du haben, damit du auf den nächsten Reitern die Gesetzmäßigkeiten verstehen kannst:

Anschaulich bedeutet der elektrische Widerstand Folgendes: Die Eigenschaft des Leiters, den Strom zu hemmen.

Eine genauere Untersuchung ergibt: Der elektrische Widerstand ist ein Maß dafür, welche elektrische Spannung erforderlich ist, um eine bestimmte elektrische Stromstärke durch einen Leiter fließen zu lassen. Benötigt man eine hohe Spannung für einen kleinen Strom, so sollte der elektrische Widerstand groß sein, benötigt man nur eine kleine Spannung für einen relativ großen Strom, so sollte der Widerstand klein sein. Diese Überlegungen führen zur folgenden wichtigen Formel:

Definition: Widerstand = Spannung / Stromstärke

oder R = U / I

Das Formelzeichen für den elektrischen Widerstand ist R von lat. resistere für widerstehen. Der Widerstand hat die Einheit Ohm, das Einheitenzeichen ist das große Omega (Ω). Es gilt also:

1 Ω = 1 V / 1 A

Den Widerstand 1 Ω hat ein Leiter, durch den bei der Spannung 1 V ein Strom der Stärke 1 A fließt.

Wenn du mehr über den Namensgeber der Einheit, Georg Simon Ohm, erfahren möchtest, dann klicke den folgenden Link auf Wikipedia an: Biografie von Georg Simon Ohm

Es gibt noch eine weitere Formel für den Widerstand:

R = ρ * l/A. Dabei ist ρ = der spezifische Widerstand des Leiters (eine Materialkonstante), l = die Leiterlänge und A = die Querschnittsfläche des Leiters.

Es gibt ganz viele Beispiele für die Reihenschaltung von Widerständen oder Verbrauchern. Denkt z. B. an eine Lichterkette für einen Weihnachtsbaum. Im folgenden Experiment messen wir die Spannungen und die Stromstärken und versuchen, eine Gesetzmäßigkeit für die Reihenschaltung von Widerständen zu entwickeln.

Wir führen Stromstärkemessungen an verschiedenen Stellen durch. Überall  messen wir 0,01 A. Es gilt also: Bei der Reihenschaltung von Widerständen ist die Stromstärke überall gleich groß: I = I1= I2= ... . Wir messen die Spannungen: U1= 1 V; U2 = 2 V und USp = 3 V. Es gilt also: Bei der Reihenschaltung von Widerständen ist die Summe der Teilspannungen gleich der angelegten Gesamtspannung: Uges = U1 + U2 + ... . Wir bestimmen den Gesamtwiderstand: Rges = Uges / I = 3 V / 0,01 A = 300 Ω. Es gilt also: In einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) gleich der Summe der Einzelwiderstände: Rges = R1 + R2 + ... .

Jetzt leiten wir nur noch die Formel für den Gesamtwiderstand aus den Formeln für die Stromstärke und die Spannungen her:

Ausgangspunkt ist die Formel für die Spannungen:

(1) U_ges = U₁ + U₂.

Einsetzen von U_ges = I * R_ges; U₁ = I * R₁ und U₂ = I * R₂ in (1) ergibt:

I * R_ges = I * R₁ + I * R₂   | : I  (*)

R_ges = R₁ + R₂.

Für die Herleitung ist ganz wichtig die mit (*) gekennzeichnete Stelle: Die Is kürzen sich nur dehalb überall weg, weil alle Is gleich groß sind.

Die kompliziertere Parallelschaltung kommt noch häufiger vor, z. B. in dem Haus, in dem du wohnst. Auch hier führen wir wieder Messungen durch:

Wir messen U1 =  3 V und U2 = 3 V. Es ergibt sich also: An allen Zweigwiderständen liegt die gleiche Spannung: USp = U1 = U2 = ... . Wir messen: Iges = 0,045 A, I1 = 0,03 A und I2 = 0,015 A. Es ergibt sich also: Die Gesamtstromstärke ist gleich der Summe der Teilstromstärken: Iges = I1 + I2 + ... (1. Kirchhoffsches Gesetz). Wenn du mehr über Gustav Robert Kirchhoff erfahren möchtest, dann klicke den folgenden Link auf Wikipedia an: Biografie von Gustav Robert Kirchhoff Wir messen den Gesamtwiderstand: Rges = U / Iges = 3 V / 0,045 A = 66,67 Ω. Es ergibt sich also: Der Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand (Zweigwiderstand). Anschauliche Erklärung: Du kannst dir die parallelgeschalteten Widerstände zusammengelegt denken. Dabei entsteht ein Leiter mit größerer Querschnittsfläche. Das bedeutet eine Verkleinerung des Widerstandswertes, denn R = ρ * l/A (siehe Reiter Widerstand). Wie sich der Ersatzwiderstand aus den Zweigwiderständen berechnen lässt, erfährst du auf dem nächsten Reiter.

Wie lässt sich der Ersatzwiderstand aus den Zweigwiderständen berechnen? Dazu schaue dir genau die folgende Herleitung an:

Ausgangspunkt ist diesmal das erste Kirchhoffsche Gesetz:

I_ges = I₁ + I₂

Weiter gilt: I = U / R_ges  ;  I₁ = U / R₁  ;  I₂ = U / R₂. Wenn du diese Gleichungen in die obige Gleichung einsetzt, dann ergibt sich:

U / R_ges = U / R₁ + U / R₂    |: U   (*)

1 / R_ges = 1 / R₁ + 1 / R₂

Auch hier ist die mit (*) gekennzeichnete Stelle ganz wichtig: Du kannst nur deshalb überall die Spannung herauskürzen, weil sie bei der Parallelschaltung gleich ist.

In Worten lautet die Berechnungsformel für den Gesamtwiderstand bei einer Parallelschaltung, wie folgt (Lerne das gut auswendig!):

Der Kehrwert des Gesamtwiderstandes (=Leitwert) bei einer Parallelschaltung ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände:

1 / R_ges = 1 / R₁ + 1 / R₂ + ...

oder vornehmer und kürzer:

L_ges = L₁ + L₂ + ... (L = Leitwert)

Hinweis: Bitte fertige immer zuerst eine Schaltskizze an!

1.) Drei Widerstände R₁ = 20 Ω, R₂ = 30 Ω und R₃ = 50 Ω liegen in Reihe an einer Spannung von 150 V. Wie groß sind der Gesamtwiderstand, die Stromstärke und die Teilspannungen?

2.) An einer Spannung von 100 V liegen 3 gleiche Widerstände von je 300 Ω. Für welche Stromstärke muß das Zuleitungskabel ausgelegt sein, wenn alle 3 Widerstände eingeschaltet sind?

3.) Zwei Widerstände von 10 Ω und 20 Ω sind parallelgeschaltet. An ihnen liegt eine Spannung von 10 V. Welcher Strom fließt in der Zuleitung und wie teilt er sich auf?

4.) Ein 1000-Ω-Widerstand ist mit einem 1-Ω-Widerstand parallelgeschaltet. Wie groß ist der Ersatzwiderstand?

5.) Zwei Widerstände liegen parallel an 100 V. Es fließt ein Gesamtstrom von 0,9 A. Einer der Widerstände ist 200 Ω. Wie groß sind die Teilströme?

6.) Der Widerstand einer Schaltung beträgt 100 Ω. Er soll durch Parallelschaltung eines zweiten Widerstandes auf den Gesamtwiderstand von 20 Ω gebracht werden. Welchen Wert muß dieser Widerstand haben?

7.) Die Leitung zur Lichtversorgung in einer Wohnung (U = 220 V) ist mit 10 A abgesichert. Wie viele parallelgeschaltete Lampen mit einem Widerstand von je 500 Ω dürfen höchstens gleichzeitig betrieben werden?

8.) Für die Profis: An einer Spannungsquelle mit 24 V liegen drei Widerstände in folgender Anordnung: Zwei Widerstände mit 12 Ω bzw. 6 Ω sind parallelgeschaltet, diese Parallelschaltung liegt in Reihe zu einem Widerstand mit 4 Ω. Berechne den Ersatzwiderstand dieser Schaltung und die Stromstärke in der Zuleitung!

Hinweis: Auf einige Klammern wurde aus Gründen der besseren Lesbarkeit verzichtet.

1.) R_ges = 20 Ω + 30 Ω + 50 Ω = 100 Ω. Der Gesamtwiderstand beträgt 100 Ω. 

I = U_Sp / R_ges = 150 V / 100 Ω = 1,5 A. Die Stromstärke beträgt 1,5 A.

U₁ = I * R₁ = 1,5 A * 20 Ω = 30 V;  U₂= I * R₂ = 1,5 A * 30 Ω = 45 V;  U₃= I * R₃ = 1,5 A * 50 Ω = 75 V.  (Kontrolle: U_ges = U₁ + U₂ + U₃ = 30 V + 45 V + 75 V = 150 V = U_Sp) Die Teilspannungen betragen 30 V, 45 V und 75 V.

2.) 1/R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ = 3*(1 / 300 Ω) = 3 / 300 Ω =>

R_ges = 300 Ω / 3 = 100 Ω; 

I_ges = U_Sp  / R_ges = 100 V / 100 Ω = 1 A. Das Zuleitungskabel muß für mindestens 1 A ausgelegt sein. 

3.) 1/R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ = 1 / 10 Ω + 1 / 20 Ω = 2 / 20 Ω + 1 / 20 Ω = 3 / 20 Ω =>

R_ges = 20 Ω / 3 = 6,6... Ω;

I_ges = U_Sp / R_ges = 10 V / 6,6... Ω = 1,5 A In der Zuleitung fließt ein Strom von 1,5 A.

I₁ = U / R₁ = 10 V /10 Ω = 1 A;  I₂ = U_Sp / R₂ = 10 V / 20 Ω =0,5 A oder alternativ I₂ = I_ges - I₁ = 1,5 A - 1 A = 0,5A. Durch den Widerstand R₁ fließt ein Strom von 1 A und durch R₂ fließt 0,5 A.

4.) 1/R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ = 1 / 1000 Ω + 1 / 1 Ω = 1 / 1000 Ω + 1000 / 1000 Ω = 1001 / 1000 Ω =>

R_ges = 1000 Ω / 1001 = 0,999 Ω. Der Ersatzwiderstand beträgt 0,999 Ω.

5.) I₁ = U / R₁ = 100 V / 200 Ω = 0,5 A; 

I₂ = I_ges - I₁ = 0,9 A - 0,5 A = 0,4 A. Die Teilströme betragen 0,5 A bzw. 0,4 A.

6.) 1/R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ =>

1/R₂ = 1/R_ges - 1/R₁ = 1 / 20 Ω - 1 / 100 Ω = 5 / 100 Ω - 1 / 100 Ω = 4 / 100 Ω =>

R₂ = 100 Ω / 4 = 25 Ω. Der Widerstand muß 25 Ω haben.

7.) R_ges = U_Sp / I_ges = 220 V / 10 A = 22 Ω =>

1 / 22 Ω = 1 / 500 Ω + 1 / 500 Ω + ... =>

1 / 22 Ω = x /500 Ω => x = 500 Ω / 22 Ω =22,7. Es dürfen höchstens 22 Lampen (Hier muß abgerundet werden.) betrieben werden.

8.) Zunächst berechnen wir den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung:

1/R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ = 1 / 12 Ω + 1 / 6 Ω = 1 / 12 Ω + 2 / 12 Ω = 3 / 12 Ω =>

R_ges = 12 Ω / 3 = 4 Ω .

Nun berechnen wir den Widerstand der gesamten Schaltung:

R_ges = R₁ + R₂ = 4 Ω + 4 Ω = 8 Ω. Der Ersatzwiderstand der gesamten Schaltung beträgt also 8 Ω.

I_ges = U_Sp / R_ges = 24 V / 8 Ω = 3 A. Die Stromstärke in der Zuleitung beträgt 3 A.