Lehrerinfos
Welche Lernziele werden im Lernpfad abgedeckt?
Liebe Kolleginnen und Kollegen,
mit diesem Lernpfad sollen die Schülerinnen und Schüler nicht nur umfassende Informationen über die Kreiszahl π erhalten, sondern sie sollen erkennen, dass π eine der faszinierendsten Konstanten der Mathematik ist:
Im Reiter "Einstieg" wird die Frage beantwortet, was π eigentlich ist. Hier wird der klassische Stoff einer achten Klasse behandelt. Es wird auch ein Hinweis gegeben, welche Reiter für alle und welche Reiter für die Oberstufenschülerinnen und Oberstufenschüler konzipiert sind. Der Einstieg wird durch Übungsaufgaben abgeschlossen.
Ein Schwerpunkt des Lernpfads (die nächsten vier Reiter) liegt auf die Approximation von π mittels ein- und umbeschriebener regelmäßiger Vielecke. Diese Approximation ist zwar recht "langsam" und "lang", aber sie ist sehr alt und mittels Methoden, die die Schülerinnen und Schüler in der Mittelstufe erlernen, lösbar. Diese Approximation kommt ohne Differential- und Integralrechnung aus. Die GeoGebra-Zeichnungen, die bewusst kleinschrittig duchgeführten Rechnungen, die Excel-Tabelle und vor allem die Animation sollen die Schülerinnen und Schüler dazu ermuntern, "duchzuhalten". Nach der Durcharbeitung der vier Reiter haben die Schülerinnen und Schüler ein Gefühl dafür, warum π ungefähr 3,14 ist. Die Kreiszahl π ist dann nicht nur ausschließlich experimentell ermittelt worden. Des Weiteren erkennen die Schülerinnen und Schüler den engen Bezug der Mathematik zum Fach Geschichte.
Auf dem nächsten Reiter wird der Bezug zu einem anderen Bereich der Mathematik hergestellt, der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Schülerinnen und Schüler sind fasziniert, wenn sie lernen, die Kreiszahl π mittels der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu approximieren. Im Informatikunterricht der Mittelstufe gehört es zum Standard, die Monte-Carlo-Methode für die Approximation von π zu programmieren. Die Excel-Tabelle zum Download ist so programmiert.
Im Reiter "Vorkommen von Pi" wird nochmal ein deutlicher Bezug zum Fach Geschichte hergestellt. Die Schülerinnen und Schüler sind überrascht, wenn sie lernen, dass die Kreiszahl π auch im Alten Testament erwähnt wird. Der zweite Teil des Reiters ist für die Oberstufe bestimmt: Die Oberstufenschülerinnen und Oberstufenschüler sind erstaunt, dass viele unendliche Reihen, ja sogar unendliche Produkte, Grenzwerte haben, in der die Kreiszahl π vorkommt. Das Highlight ist hier natürlich die Eulersche Identität.
Auch der nächste Reiter über die Irrationalität und Transzendenz von π ist für die Oberstufe konzipiert. Leider ist die Irrationalität von π nicht so leicht zu beweisen wie die Irrationalität von √2. Hier wird mit Ableitungen und Integralen gearbeitet. Im Mathe-Song gelingt es Dorfuchs, auf unterhaltsame Weise den Beweis zu singen, desalb ist er hier eingebettet worden. Der Beweis für die Transzendenz ist hier nur angedeutet, wichtiger für die Oberstufenschülerinnen und Schüler ist die Erkenntnis, dass aus der Transzendenz die Unmöglichkeit folgt, die Kreiszahl π nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
Im sich anschließenden Reiter wird das Gelernte anhand von Tests geübt. Der erste Test ist für alle Schülerinnen und Schüler konzipiert, der zweite für die Oberstufe.
Im letzten Reiter werden Ausblicke gegeben, mit welchen Inhalten rund um π man sich zusätzlich beschäftigen kann. Besonders faszinierend dürfte für die Schülerinnen und Schüler der Gedanke sein, dass man alle Texte, die man im Deutschunterricht behandelt hat und noch behandeln wird, in π als codierte Ziffernfolge wiederfinden könnte. Das ist zwar noch nicht bewiesen, aber viele Indizien sprechen dafür, dass es so ist.
Quellen:
U.a. wurden folgende Quellen verwendet:
Albrecht Beutelspacher: Zahlen, Beck Verlag, 2. Auflage 2015
Ian Stewart: Unglaubliche Zahlen, Rowohlt Taschenbuch Verlag, 2. Auflage Februar 2018
https://www.pimath.de/quadratur/verzeichnis.html#k1
http://gibliestal.educanet2.ch/pi2009/.ws_gen/28/Dokument.pdf
Bildnachweise:
Das Bild von Archimedes im Reiter "Approximation I" entstammt pixabay.de.
Das Bild der Bronzeschale wurde von Marie-Christin Noll gezeichnet. Die Genehmigung zur Veröffentlichung wurde eingeholt.
Alle weiteren Bilder wurden vom Autor u. a. mit Paint bzw. mit GeoGebra erstellt.
Die Animation zur Approximation, die Excel-Datei zur Approximation und die Download-Excel-Datei zur Monte-Carlo-Methode wurden vom Autor erstellt.