Es gibt noch eine zweite Möglichkeit für die Quadratur eines Rechtecks, nämlich die Quadratur mittels Kathetensatz. Zunächst musst du wissen, was der Kathetensatz des Euklid aussagt. Dazu schaue dir das folgende Bild an:

Bezüglich des Kathetensatzes musst du dir zwei Formeln merken:

• $\mathrm{a^{2}=p⋅c}$
• $\mathrm{b^{2}=q⋅c}$

In Worten: Das Quadrat über die Kathete a bzw. b ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit dem anliegenden Hypotenusenabschnitt p bzw. q und der Hypotenuse c.

Für den Beweis benötigst du nur einmal den Satz des Pythagoras, den Höhensatz des Euklid $\mathrm{h^{2}=p⋅q}$ und die Gleichung $\mathrm{c=p+q}$. Beginne mit dem Beweis von $\mathrm{a^{2}=p⋅c}$:

Gemäß des Satzes des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck CDB (siehe obiges Bild):

$\mathrm{a^{2}=h^{2}+p^{2}}\Leftrightarrow$

$\mathrm{a^{2}=p⋅q+p^{2}}\Leftrightarrow$

$\mathrm{a^{2}=p⋅(q+p)}\Leftrightarrow$

$\mathrm{a^{2}=p⋅c}$. Schon bist du fertig.

Der Beweis zu $\mathrm{b^{2}=q⋅c}$ ist analog. Du musst nur mit $\mathrm{b^{2}=h^{2}+q^{2}}$ beginnen.

Jetzt ist es endlich wieder soweit: Das folgende Bild zeigt dir, wie man ein flächengleiches Quadrat von einem gegebenem Rechteck mit dem Kathetensatz konstruiert:

Konstruktionsbeschreibung: Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen $\mathrm{p=\overline{DB}=2\,cm}$ und $\mathrm{c=6\,cm}$. Zeichne einen Kreisbogen um B mit dem Radius c nach links. Verlängere p so, dass sich die Verlängerung mit dem Kreisbogen schneidet. Nenne den Schnittpunkt A. Konstruiere jetzt den Thaleskreis über $\mathrm{\overline{AB}}$. Verlängere die linke Seite des Rechtecks so, dass sie sich mit dem Thaleskreis schneidet. Nenne den Schnittpunkt C. Die Strecke $\mathrm{\overline{CB}}$ ist die gesuchte Quadratlänge. Zeichne schließlich das Quadrat $\mathrm{a^{2}}$.

Bei dieser Konstruktion wurde die Variante $\mathrm{a^{2}=c⋅p}$ des Kathetensatzes benutzt. Analog kannst du auch die Variante $\mathrm{b^{2}=c⋅q}$ benutzen.

Gratulation, du hast auch diese Quadratur geschafft. Du kannst auch überprüfen, ob deine Konstruktion richtig ist, indem du die Länge von a mißt: Das Rechteck hat den Flächeninhalt von $\mathrm{6\,cm⋅2\,cm=12\,cm^{2}}$, also hat a die Länge von $\mathrm{\sqrt{12\,cm^{2}}≈3,5\,cm}$ .