Beweis des Euklid
Es folgt nun der so genannte Beweis des Euklid, weil Euklid ihn in seinen "Elementen" aufschrieb, allerdings in heutiger Sprache: (Mehr über Euklid erfahrt Ihr auf dem Reiter Biografien)
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Kommentar: |
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(1) Annahme: √2=p/q, wobei p und q teilerfremde Zahlen sind. (2) 2 = (p/q)² <=> 2= p²/q² (3) 2*q²=p² (4) p² ist teilbar durch 2. (5) p ist teilbar durch 2. Also p = 2*r, wobei r eine ganze Zahl ist. (6) 2*q²=(2*r)²=4*r² <=> q²=2*r² (7) q² ist teilbar durch 2. (8) q ist teilbar durch 2. (8) ist mit (5) ein Widerspruch zu (1). |
Wir nehmen an, dass es eine Darstellung von √2 als Bruch gibt. Also kann man im Schritt (1) √2 auch als gekürzten Bruch p/q schreiben. Mit den Schritten (2) - (5) zeigt man, dass p gerade ist. Mit den Schritten (6) - (8) zeigt man, dass auch q gerade ist. (5) und (8) ergeben einen Widerspruch zu (1), denn dort wird angenommen, dass p/q ein gekürzter Bruch ist. Dieser Widerspruch zeigt: Es kann keine Darstellung von √2 als Bruch geben; √2 ist eine irrationale Zahl. |
In einem Rap von Dorfuchs kannst du den Beweis nochmal anschauen und sogar nachsingen. Klicke dazu auf den folgenden Link:
