Erste historische Schätzungen:

Das berühmteste Beispiel ist aus der Bibel: König Salomo gab dem Kupferschmied Hiram von Tyros den Auftrag, für den Jerusalemer Tempel ein kreisförmiges Wasserbecken (im Bibelzitat Meer genannt) herzustellen. Im ersten Buch der Könige - Kapitel 7 - Vers 23 heißt es: "Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen." Eine Elle ist ungefähr 45 cm lang. Wenn man nun π berechnet, so ergibt sich immerhin $π = \frac{U}{d} ≈ \frac{30 Ellen}{10 Ellen} = 3$.

Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt (Papyrus Rhind, 16. Jahrhundert vor Christus) verwendet als Näherung $(\frac{16}{9})^2 ≈ 3,1605$.

Die Babylonier nutzten den Wert $3 + \frac{1}{8} = 3,125$.

In Indien nutzte man die Näherungen $\sqrt{10} ≈ 3,1623$ oder später genauer $\frac{62832}{20000} = 3,1416$.

Der große Durchbruch gelang Archimedes mit der in den vorherigen Reitern beschriebenen Approximationsmethode. Sie erlaubte immer genauere Annäherungen. 

Für den Alltag reicht 3,14 oder der Bruch $\frac{22}{7}$. Der Näherungsrekord liegt bei 31,4 Billionen Nachkommastellen.

Vorkommen in Formeln:

Viel spannender ist das Vorkommen von π in Formeln. Da es sehr viele Formeln sind, folgt eine kleine Auswahl:

Eine sehr faszinierende Gleichung wurde von Euler 1748 aufgestellt und stellt eine einfache Verbindung zwischen der Kreiszahl π, der Eulerschen Zahl e und der Quadratwurzel aus -1, also i, her:

$e^{iπ} = -1 ⇔ e^{iπ} + 1 = 0$.

Diese Gleichung wird auch Eulersche Identität genannt und wird im nächsten Reiter zum Beweis der Transzendenz von π (d. h. π ist nicht Lösung einer polynomialen Gleichung mit ganzen oder rationalen Koeffizienten) genutzt. Sie gehört zu den 10 beeindruckendsten Formeln der Mathematik.

Die Kreiszahl kommt auch in vielen unendlichen Reihen vor:

Viele Mathematiker vor allem aus Basel (deshalb auch das Basler Problem genannt) fragten sich seit dem 17. Jahrhundert, wie groß die Summe aller reziproker Quadratzahlen ist. Es war wieder Euler, der 1735 die genial einfache Lösung fand:

$\frac{π^{2}}{6} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} +  ...$

Es gilt auch z. B. für die vierte Potenz:

$\frac{π^{4}}{90} = \frac{1}{1^{4}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{3^{4}} +  ...$

Was erhalten wir, wenn wir nur die Summe der reziproken ungeraden Quadratzahlen betrachten? Auch dafür gibt es eine Lösung mit π:

$\frac{π^{2}}{8} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} +  ...$

Eine weitere sehr bekannte Reihe mit π ist die sogenannte Leibniz-Reihe, die Gottfried Wilhelm Leibniz 1682 veröffentlichte:

$\frac{π}{4} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} -  ...$

Gibt es statt einer unendlichen Summe auch ein unendliches Produkt mit π? Auch das gibt es. 1655 entwickelte der Engländer John Wallis eine solche Formel:

$\frac{π}{2} = \frac{2}{1} ⋅ \frac{2}{3} ⋅ \frac{4}{3} ⋅ \frac{4}{5} ⋅ \frac{6}{5} ⋅ \frac{6}{7} ⋅ \frac{8}{7} ⋅ \frac{8}{9} ⋅  ...$