Die Kreiszahl π ist eine der faszinierendsten und wichtigsten Konstanten in der Mathematik. In diesem Lernpfad lernst du viele interessante Aspekte von π kennen und erhältst u. a. Antworten auf folgende Fragen:

• Wie ist π definiert?
• Ist π wie √2 irrational?
• In welchen Gleichungen taucht π auf?
• Wie kann man möglichst viele Stellen von π berechnen?
• Ist die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal möglich?

Wenn du in der Oberstufe bist, wirst du alle Inhalte des Lernpfads verstehen, wenn du Mittelstufenschüler bist, wirst du fast alle Lerninhalte (nicht den Reiter zur "Irrationalität und Transzendenz" und nicht den Abschnitt "Vorkommen in Formeln" im Reiter zu "Vorkommen von Pi") verstehen.

Wir fangen ganz einfach an:

π ist ganz schlicht und bescheiden nur das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und dessen Durchmesser (siehe Bild). Also:

$π = \frac{U}{d}$

Vornehmer: Umfang und Durchmesser eines Kreises sind proportional zueinander, d. h.: Wenn man den Durchmesser verdoppelt, dann verdoppelt sich auch der Umfang. Der Proportionalitätsfaktor von Umfang und Durchmesser ist die Zahl π. (Leonhard Euler wählte deshalb den griechischen Buchstaben π für den Proportionalitätsfaktor, weil er der Anfangsstube von griech. peripheria = dt. Umfang ist. Aufgrund der großen Bedeutung von Euler wurde auch später diese Bezeichnungsweise verwendet.)

Miss nun Durchmesser und Umfang (am besten mit einem Faden) von Kreisformen aus dem Alltag (z. B. Teller, Tesafilmrolle) und berechne ihr Verhältnis. Du wirst, wenn du dir Mühe gibst und sorgfältig arbeitest, ungefähr 3,14 erhalten. Die Kreiszahl π ist wie √2 eine irrationale Zahl, sie hat also als Dezimalbruch geschrieben unendlich viele Stellen und keine Periode. 3,14 ist deshalb nur eine Näherung. Auch der Bruch 22/7 ist sehr gebräuchlich. Wie man π genauer berechnen kann, erfährst du auf den folgenden Reitern.

Man kann mit der Zahl π nicht nur den Kreisumfang berechnen, wenn der Durchmesser d oder der Radius r gegeben ist, nämlich mittels

U = π ⋅ d beziehungsweise U = 2⋅π⋅r,

sondern auch die Kreisfläche. Dazu zeichnest du einen ausreichend großen Kreis und schneidest ihn in 12 gleich große Teile (siehe Bild):

Die Teile legst du nun zu einem "Rechteck" (siehe Bild):

Das Rechteck hat ungefähr die Längen: π⋅r (die Hälfte des Umfangs) und r. Damit ergibt sich:

A = Länge mal Breite = π⋅r⋅r = π⋅r².

Die obige Herleitung wird umso genauer, je mehr Kreisteile du benutzt.

Wir fassen zusammen. Die Kreisfläche ist:

$A_{Kreis} = π⋅r^{2}$

Übrigens: Die Kreiszahl π wird auch Ludolphsche Zahl genannt, denn Ludolph van Ceulen berechnete im 16. Jahrhundert π auf 35 Dezimalstellen genau. Eine weitere Bezeichnung ist Archimedes-Konstante. Auf den nächsten Reitern wirst du verstehen, warum man diese Bezeichnung verwendet.

Aufgaben:

1.) Berechne Umfang und Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser d = 7,20 m. (Lösung: U = 22,6 m, A = 40,7 m²)

2.) Berechne den Radius eines Kreises mit einem Flächeninhalt von 2,5 cm². (Lösung: r = 0,89 cm)

3.) Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man seinen Durchmesser verdoppelt? (Lösung: Er vervierfacht sich.)

4.) Eine Raumfähre umkreist die Erde in einer Flughöhe von 275 km. Für eine Erdumkreisung benötigt die Raumfähre 1 1/2 Stunden. Berechne die Geschwindigkeit des Raumschiffs auf der Umlaufbahn um die Erde. Gehe dabei von 6 370 km für den Erdradius aus. (Lösung: v = 27 834,5 km/h)