Online-Lernpfad

Satz von Vieta

Voraussetzungen

Was du bereits können solltest

Du hast bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen der Normalform x² + px + q = 0 mit Hilfe der pq - Formel lösen kann. Solltest du dir dabei noch nicht sicher sein, findest du hier Möglichkeiten zum Auffrischen bzw. Üben.

Auch solltest du quadratische Gleichungen der Standardform ax² + bx + c = 0 lösen können. Dies kann entweder über die Mitternachtsformel (ABC-Formel) oder über das Umformen (Dividieren durch a) in die Normalform geschehen.

Alles klar, dann lass uns mit Schritt 2 weiter machen!

Forschungsauftrag 1

Löse die folgenden Gleichungen. Trage die Lösungen x1 und x2, so wie die Koeffizienten p und q und eine Tabelle ein.

Was fällt dir auf?

a) x² - 8x + 15 = 0

b) x² + 9x + 14 = 0

c) x² - 5X -14 = 0

 

Hier geht´s zur Lösung.

Forschungsauftrag 2

 

Die Gleichung (x - 3)(x - 5) = 0 hat die Lösungen 3 und 5.

Durch Ausmultiplizieren kann man die Gleichung in die Form x² + px + q = 0 bringen.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Lösungen 3 und 5 und den Koeffizienten p und q?

 

Hier geht´s zur Lösung.

Forschungsauftrag 3

Die Erkenntnisse aus Auftrag 2 wollen wir nun verallgemeinern.

Bestimme die Lösungen der Gleichung (x - x1)(x - x2) = 0.

Bringe die Gleichung durch Ausmultiplizieren in die Form x² + px + q = 0.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen p und q?

 

Hier geht´s zur Lösung.

Satz von Vieta

 

Satz von Vieta

Wenn eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 die Lösungen x1 und x2 hat, dann gilt:

x1 + x2 = - p  

x1 * x2 = q

 

Mit dem Satz kann man schnell die Probe durchführen.

Für ganzzahlige Lösungen ist der Satz auch geeignet um diese schnell zu finden.

 

Francois Vieta

Francois Vieta

 

Francois Vieta

1540 - 1603

 

Hier findest du weitere Informationen.

Beweis des Satzes von Vieta

 

Beweise unter Verwendung der pq-Formel die Behauptungen:

a) x1 * x2 = q

b) x1 + x2 = -p

 

Hier geht´s zu den Lösungen.

 

Lösen von quadratischen Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Probiere dazu einfache Lösungen aus.

a) x² + 7x + 12 = 12

b) x² + 9x +18 = 0

c) x² - 4x + 4 = 0

d) x² - 6x + 8 = 0

e) x² -13x + 30 = 0

f) x² + 2x -80 = 0

 

Hier geht´s zu den Lösungen.

Lösung von quadratischen Gleichungen

Löse die quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Probiere dazu einfache Lösungen aus.

a) x² + 7x + 12 = 12

 

 

 

x1

3

- 3

x2

4

- 4

x1 + x2

+ 7

- 7

- p

- 7

- 7

x1 * x2

12

12

q

12

12

 

b) x² + 9x +18 = 0

 

 

x1

- 3

x2

- 6

x1 + x2

- 9

- p

- 9

x1 * x2

18

q

18

 

c) x² - 4x + 4 = 0

 

 

x1

2

x2

2

x1 + x2

4

- p

4

x1 * x2

4

q

4

 

d) x² - 6x + 8 = 0

 

 

x1

2

x2

4

x1 + x2

6

- p

6

x1 * x2

8

q

8

 

e) x² -13x + 30 = 0

 

 

x1

3

x2

10

x1 + x2

13

- p

13

x1 * x2

30

q

30

 

f) x² + 2x -80 = 0

 

 

x1

8

x2

- 10

x1 + x2

-2

- p

- 2

x1 * x2

- 80

q

- 80

 

Probe mit dem Satz von Vieta

Überprüfe mithilfe des Satzes von Vieta ob die angegebenen Lösungen richtig sind.

 

a) x² + 2x - 8 = 0           x1= 2  ;  x2 = - 4

b) 0,5x² + 2x - 6 = 0       x1= 2  ;  x2 = - 6

c) 4x² - 8x = 20              x1= 2  ;  x2 = - 4

 

Hier geht´s zu den Lösungen.

 

 

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